Asal sayılar, sayı teorisinin temel kavramlarından biridir. Antik Çağ’dan bu yana matematikçilerin ilgisini çeken bu sayılar, yalnızca 1’e ve kendilerine tam bölünebilir.
Yaklaşık 2300 yıl önce yaşamış olan Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu kanıtladı. Dolayısıyla “en büyük asal sayı” diye bir sayı yoktur. Ancak bilgisayarlarla bugüne kadar bulunmuş **en büyük bilinen asal sayıdan** söz edilebilir.
2026 itibarıyla bilinen en büyük asal sayı: 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1 ifadesidir.
Bu sayı 41.024.320 basamaktan oluşur ve Mersenne asal sayıları adı verilen özel bir asal sayı grubuna aittir.
Asal sayı, 1’den büyük ve pozitif bölenleri yalnızca 1 ile kendisi olan tam sayıdır.
Örneğin: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ve 17 birer asal sayıdır. 1 ise asal sayı değildir.
Aritmetiğin Temel Teoremi’ne göre 1’den büyük her tam sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı biçiminde, çarpanların sırası dışında tek bir şekilde ifade edilebilir.
Örneğin: 60 = 2² × 3 × 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılabilir.
Bu özellik nedeniyle asal sayılar, tam sayıların temel yapı taşları olarak kabul edilir.
Wilson asalları, Wilson Teoremi ile ilişkili özel asal sayılardır.
Bir asal sayı p için Wilson Teoremi: (p − 1)! ≡ −1 (mod p) eşitliğinin sağlandığını belirtir.
Ancak bir sayının Wilson asalı olabilmesi için daha güçlü olan: (p − 1)! ≡ −1 (mod p²) koşulunu sağlaması gerekir.
Bugün bilinen Wilson asalları yalnızca: 5, 13 ve 563 sayılarıdır. Yeni Wilson asallarının bulunup bulunmadığı araştırılmaya devam etmektedir. Wilson asallarının sonsuz sayıda olup olmadığı da bilinmemektedir.
Mersenne sayıları: Mₚ = 2ᵖ − 1 biçimindeki sayılardır. Burada p asal olduğunda Mₚ sayısı asal olabilir; ancak p’nin asal olması Mₚ’nin mutlaka asal olacağı anlamına gelmez.
Örneğin: M₂ = 2² − 1 = 3
M₃ = 2³ − 1 = 7
M₅ = 2⁵ − 1 = 31
M₇ = 2⁷ − 1 = 127 birer Mersenne asalıdır.
Ancak p = 11 için: 2¹¹ − 1 = 2047 ve 2047 = 23 × 89 olduğu için bu sayı asal değildir.
Mersenne sayılarının önemli bir avantajı, asallıklarının Lucas-Lehmer testi gibi özel algoritmalarla çok verimli biçimde kontrol edilebilmesidir. Bu nedenle bilinen en büyük asal sayıların çoğu Mersenne asallarıdır.
Ekim 2026 itibarıyla bilinen en büyük asal sayı: 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1 sayısıdır.
Bu sayı kısaca M136279841 olarak gösterilir ve tam olarak: 41.024.320 basamaktan oluşur. Sayı, Great Internet Mersenne Prime Search yani GIMPS projesine katılan Luke Durant tarafından 2024 yılında bulundu.
İlk olası asal sonucu 11 Ekim 2024’te İrlanda’nın Dublin kentindeki bir NVIDIA A100 GPU’dan elde edildi. 12 Ekim’de San Antonio’daki bir NVIDIA H100 GPU üzerinde yapılan Lucas-Lehmer testi sayının asal olduğunu doğruladı. Daha sonra farklı donanımlar ve farklı yazılımlar kullanılarak bağımsız doğrulamalar gerçekleştirildi ve doğrulama süreci 19 Ekim’de tamamlandı.
GIMPS, keşfi 21 Ekim 2024 tarihinde kamuoyuna duyurdu. M136279841, kendisinden önceki rekor sahibi M82589933’ten 16 milyondan fazla basamak daha uzundur.
2018 yılında Patrick Laroche tarafından bulunan: 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ − 1 sayısı yaklaşık altı yıl boyunca bilinen en büyük asal sayı olarak kaldı.
Bu sayı: 24.862.048 basamaktan oluşuyordu. 2024 yılında bulunan M136279841 ise bu rekoru önemli ölçüde geçti.
GIMPS, “Great Internet Mersenne Prime Search” ifadesinin kısaltmasıdır. 1996 yılında başlayan proje, gönüllülerin bilgisayarlarının işlem gücünü kullanarak yeni Mersenne asalları aramasını sağlar.
Projede aday Mersenne sayıları çeşitli asallık testlerinden geçirilir. Yeni bir olası asal bulunduğunda sonuç farklı bilgisayarlar ve yazılımlar kullanılarak bağımsız olarak doğrulanır.
2024 yılında bulunan M136279841, bilinen 52. Mersenne asalıdır.
GIMPS’in güncel kayıtlarına göre 31 Ekim 2026 itibarıyla M136279841’den daha büyük doğrulanmış bir asal sayı henüz açıklanmamıştır.
Hayır. Bilinen en büyük asal sayı ile matematiksel anlamda “en büyük asal sayı” birbirinden farklı kavramlardır.
Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu yaklaşık MÖ 300 yılında kanıtladı. Bu nedenle hangi asal sayı bulunursa bulunsun, ondan daha büyük başka asal sayılar da vardır. Bilinmeyen şey asal sayıların varlığı değil, bu çok büyük asal sayıların hangileri olduğudur.
Asal sayılar için matematikte birçok formül ve algoritma bulunmaktadır. Ayrıca belirli koşullar altında asal sayı üreten matematiksel ifadeler de geliştirilmiştir. Bu nedenle “asal sayıları bulmak için hiçbir kesin formül yoktur” ifadesi teknik olarak doğru değildir.
Ancak bütün asal sayıları basit, sıralı ve hesaplama açısından verimli biçimde üreten tek bir temel formül bulunmamaktadır.
Modern matematikte asallık testi için AKS, Miller-Rabin ve ECPP gibi genel yöntemler bulunurken Mersenne sayıları gibi özel sayı sınıfları için Lucas-Lehmer testi gibi çok daha verimli algoritmalar kullanılabilir. Asal sayıların dağılımı, belirli asal sayı sınıflarının özellikleri ve yeni büyük asal sayıların bulunması sayı teorisinin günümüzde de aktif araştırma alanları arasında yer almaktadır.
